Закажите услуги фрилансеров для вашего проекта прямо сейчас!

Размещение заказа на фриланс бирже бесплатно.

Курсовая по ТАУ – №16

Исходные данные
ЗАД,  — соответственно заданное и текущее значение угла курса;
 = ЗАД  ;
UДУ, UДУС, UВ, UУ, UОС — медленно изменяющиеся напряжения постоянного тока;
Н — угол отклонения руля управления;
МВ — возмущающий момент.
K = 1; = 0,5; KУ = 20; KOC = 0,2; KPM = 5; TPM = 0,1; KC = 2,2;
TC = 2; KM = 0,5; MB = 50.
1.        Исходя из уравнений элементов системы, составить их передаточные функции
В теории автоматического управления принята форма записи уравнения динамики звена: выходная величина и ее производные стоят в левой части, причем на первом месте стоит производная высшего порядка; выходная величина входит в уравнение с коэффициентом, равным единице; входная величина, ее производные и возмущающие члены стоят в правой части уравнения. Для получения уравнения в операционной форме функции, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются изображениям по Лапласу , а операции интегрирования и дифференцирования — делением и умножением на комплексную переменную р изображений функций, от которых берется интеграл или производная. В результате этого осуществляется переход от дифференциального уравнения к алгебраическому.
Передаточная функция звена W(р) представляет собой отношение изображений по Лапласу выходной и входной величин  и может быть найдена из уравнения звена, записанного в операционной форме.
Находим передаточные функции из уравнений элементов системы.
Для датчика угла ДУ (пропорциональное звено)
UДУ = K; W1(p) = .
Для датчика угловой скорости ДУС (идеальное дифференцирующее звено)
UДУС = ; UДУС(р) = р(р); W2(p) = .
Для усилителя У (пропорциональное звено)
UУ = KУ(UВ  UОС); W3(p) = KУ.
Для рулевой машины РМ (интегрирующее и апериодическое звенья)
; (ТРМр2 + р)Н(р) = КРМUУ(р);
W4(p) = .
Для жесткой обратной связи ЖОС (пропорциональное звено)
UОС = КОСН; W5(p) = KОС.
Для самолета С (интегрирующее и апериодическое звенья)
;
Для задающего воздействия (ТСр2 + р) (р) = КСН(р);
W6(p) =  = ;
для возмущающего момента (ТСр2 + р) (р) = КММВ;.
W7(p) =  = ;

2.        Составить структурную схему САУ
Структурная (алгоритмическая) схема системы — это графическое изображение, показывающее, из каких динамических звеньев состоит система и как они соединены между собой. Изображается в виде прямоугольников, внутри которых записана передаточная функция звена, связанных линиями со стрелками, показывающими направление передачи воздействия.


        Далее нужно выполнить преобразование многоконтурной системы к эквивалентной одноконтурной, используя выражения передаточных функций для звеньев, соединенных разными способами.
Передаточная функция n последовательно соединенных звеньев записывается

Передаточная функция n параллельно соединенных звеньев имеет вид

Передаточная функция звена с обратной связью

Звенья 1 и 2 соединены параллельно, передаточная функция контура
W1-2(p) = W1(p)·+ W2(p) = K + .
Звенья 3 и 4 соединены последовательно, передаточная функция контура
W3-4(p) = W3(p)  W4(p) = KУ.
Контур 3-4 имеет отрицательную жесткую обратную связь, передаточная функция
W3-4-ОС(p) =  =  =
= .
Далее контуры 1-2, 3-4-ОС и 6 соединены последовательно и передаточная функция незамкнутого контура записывается
WНК(p) = W1-2(p)  W3-4-ОС(p)  W6(p) =
=      =
= =
=.
Передаточная функция замкнутого контура записывается
WЗК(p) = .
Для задающего воздействия WЗК(p) =
 b0 = b1 = b2 = 0;
b3 == 110;
b4 = = 220;
a0 = ТРМТС = 0,2;
a1 = ТРМ + ТС = 2,1;
a2 = = 41;
a3 = = 130;
a4 = = 220.
WНК(p) =
WЗК(p) =
Передаточная функция при наличии возмущающего воздействия записывается WВВ(p) = ,
где W7(p) — передаточная функция участка цепи, начиная с которого задается возмущение.
WВВ(p) =
b0 = b1 =0;
b2 = = 0,05
b3 = = 0,5;
b4 = КМКОСКУКРМ = 10;
a0 = ТРМТС = 0,2;
a1 = ТРМ + ТС = 2,1;
a2 = = 41;
a3 = = 130;
a4 = = 220.
WBB(p) =
3.        Проверить устойчивость замкнутой САУ по критерию Гурвица и определить критическое значение коэффициента усиления усилителя.
Передаточная функция незамкнутой системы в общем виде записывается

Характеристический полином D(p) = Q(p) + R(p) является знаменателем передаточной функции замкнутого контура.
Система автоматического управления (САУ) будет устойчивой по критерию Гурвица, если для ее характеристического полинома, записанного в виде
D(p) = a0pn + a1pn-1 + a2pn-2 + … + an-1p2 + an-2p + an и a0 > 0 положительными будут n главных миноров матрицы
,
,
,
.................................................
,
n = an · n > 0.
Отдельные случаи критерия устойчивости Гурвица.

  • D(p) = a0p + a1;

Условия устойчивости a0 > 0, a1 > 0.

  • D(p) = a0p2 + a1р + a2;

Условия устойчивости a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0.

  • D(p) = a0p3 + a1р2 + a2р + а3;

Условия устойчивости a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0, а1а2 – а0а3 > 0.

  • D(p) = a0p4 + a1р3 + a2р2 + а3р + а4;

Условия устойчивости a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0, a4 > 0,
а3(а1а2 – а0а3) – а4> 0.

  • D(p) = a0p5 + a1р4 + a2р3 + а3р2 + а4р + а5;

Условия устойчивости a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0, a4 > 0, a5 > 0, а1а2 – а0а3 > 0,
(а3а4 – а2а5)(а1а2 – а0а3) – (а1а4 – а0а5)2> 0.

  • D(p) = a0p6 + a1р5 + a2р4 + а3р3 + а4р2 + а5р + а6;

Условия устойчивости a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0, a4 > 0, a5 > 0, a6 > 0,
а3(а1а2 – а0а3) - а1(а1а4 – а0а5)> 0,
(а1а2 – а0а3)+ (а1а4 – а0а5)> 0.
Для нашего случая n = 4 и
        D(p) = 0,2p4 + 2,1р3 + 41р2 + 130р + 220;
Определитель Гурвица
4 =  =
Для частного случая n = 4 условия устойчивости по критерию Гурвица записываются a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0, a4 > 0, а3(а1а2 – а0а3) – а4 = 6842,8 > 0.
Критерий Гурвица выполнен. САУ устойчива.
Для определения критического значения коэффициента усиления усилителя задаем коэффициенты характеристического полинома параметрически, а затем приравниваем нулю определители Гурвица.
a0 = 0,2;
a1 = 2,1;
a2 = 2KУ +1;
a3 = 6,5KУ;
a4 = 11KУ.
а3(а1а2 – а0а3) – а4  KУ(KУ  1,85) = 0;
Критическое значение коэффициента усиления — 1,85
4.        Проверить критическое значение коэффициента усиления с использованием критериев устойчивости Михайлова и Найквиста.
Данные критерии — графические.
Критерий Михайлова позволяет судить об устойчивости системы по кривой, построенной на основе характеристического полинома замкнутой системы. В характеристический полином подставляем мнимую переменную j. Получим комплексную функцию
D(j) = U() + jV()
D(p) = 0,2p4 + 2,1р3 + 41р2 + 130р + 220;
D(j) = 0,2(j)4 + 2,1(j)3 + 41(j)2 + 130(j) + 220;
D(j) = (0,24  412 + 220) + j(2,13+ 130);
Функция изображается на комплексной плоскости в виде годографа Михайлова. Критерий Михайлова гласит: система будет устойчива, если годограф D(j), начинаясь на действительной положительно оси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n — порядок системы. Это соответствует тому, что все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Характеристическое уравнение имеет корни
р1 = 3,512 + j12,726;
р2 = 3,512 j12,726;
р3 = 1,718 + j1,814;
р4 = 1,718  j1,814;
 Условием нахождения системы на границе устойчивости является прохождение годографа Михайлова через начало координат. Тогда характеристическое уравнение имеет пару сопряженных мнимых корней р = j. Для построения годографа можно определить точки пересечения кривой с осями координат и значения  в этих точках. Значения частот находятся из условий
U() = 0,24  412 + 220 = 0; V() = 2,13+ 130 = 0;
1 = 0; 2 = 2,35; 3 = 7,87; 4 = 14,2

Рис. 1.                                        Рис. 2
Из рисунка 1 видно, что кривая проходит против часовой стрелки 4 квадранта при изменении  от 0 до +. Система будет устойчива по критерию Михайлова.
Для проверки критического значения KУ = 1,85 подставим его в коэффициенты характеристического полинома и для него построим годограф.
D(j) = 0,2(j)4 + 2,1(j)3 + 4,7(j)2 + 12,025(j) + 20,35;
        На рисунке 2 кривая проходит через начало координат, следовательно, система находится на грани устойчивости.
Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости системы замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ). АФЧХ получается из комплексной передаточной функции WНК(j) разомкнутой системы. Это кривая, описываемая концом вектора WНК(j) при изменении частоты  от 0 до . Разомкнутая система будет устойчива по критерию Найквиста, если ее АФЧХ не охватывает критическую точку комплексной плоскости (-1, j0). Тогда САУ будет устойчива в замкнутом состоянии.
Функция Найквиста N(j) = 1 + WНК(j) = = 1+ =
= =

Из графика АФЧХ видно, что критическая точка (1, j0) лежит далеко от кривой. САУ устойчива в разомкнутом состоянии, следовательно, устойчива в замкнутом.
5.        Построить область устойчивости САУ в плоскости параметра KУ.
Область устойчивости определяет совокупность значений параметров системы, при которых она устойчива. Построение границ устойчивости в плоскости одного параметра можно следующим образом. Решим ха...