Фрилансеры предложат свои варианты уже через несколько минут!
Публикация заказа не займет много времени.

Статья на тему: "АЦП в автоматических системах"

Оценки погрешности и помехоустойчивости тракта аналого – цифрового преобразования в системах автоматического контроля и управления

Использование цифровой техники в системах управления, передачи информации, контроля и измерения обусловило необходимость применения аналого-цифрового преобразования. В частности, цифровые методы реализуются при измерении сигналов и помех в рельсовых цепях систем обеспечения безопасности движения [1], при построении цифровых интеллектуальных защит тяговых подстанций [2],[3],[4], для ввода информации в системах автоведения [5].
Аналого – цифровому преобразованию присущи методические погрешности, определяемые квантование по уровню, временной дискретизацией при фиксированном способе восстановления аналогового сигнала. Так как аналоговому сигналу сопутствует помеха, вопросы устойчивости преобразования всегда актуальны. В данной работе рассмотрена оценки погрешности и помехоустойчивости преобразования с учетом усреднения цифровых отсчетов, как метода борьбы с аддитивной помехой. Полученные результаты базируются на общем методологическом подходе, изложенном в монографии [6] и дополняют работы [3],[4] в части рассмотрения различных моделей случайных помех и систематизации результатов оценок погрешностей и помехоустойчивости.
Рассматриваются модели аналого-цифрового преобразования, приведенные на рисунке 1 (1,а – первая модель, 1,б – вторая модель, 1,в – третья модель).
а)







б)

в)

Рисунок 1. Модели аналого-цифрового преобразования.

        Здесь x -  аналоговый входной сигнал,  – аддитивная помеха, некоррелированная с сигналом,  – погрешность квантования по уровню на выходе идеального квантователя (рис. 2,а), как функция сигнала y на его входе (рис. 2,б).

Рисунок 2. Квантование по уровню.
        Очевидно, что , где q – шаг квантования по уровню.
        Если n – разрядность аналого-цифрового преобразования, а  – диапазон изменения сигнала y, то

Так, при n = 8, что соответствует разрядности типового АЦП, относительная максимальная погрешность квантования по уровню, приведенная к диапазону изменения преобразуемой величины, составляет

        Если дисперсия сигнала y1 много больше q2, что, как правило, имеет место, дисперсия погрешности квантования [6],[7] равна

а относительная среднеквадратическая погрешность

        Известно [6], что для гауссовского сигнала при выполнении соотношения дисперсии и квадрата шага квантования, указанного выше, погрешность квантования практически не коррелирована с сигналом y1. Следовательно, дисперсия погрешности квантования среднего значения l сигналов y2 на выходе квантователя, в l раз меньше дисперсии отдельного значения сигнала y2.
        Идеальный импульсный элемент ИЭт осуществляет временную дискретизацию сигнала y3. На выходе ИЭт – решетчатая функция – последовательность  – функций с весами y3[nT].

где n = 0,1,2,…; T – шаг временной дискретизации.
        Линейное звено с передаточной функцией  реализует операцию восстановления и является экстраполятором нулевого порядка (ЭНП).
        Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) ЭНП имеет вид

        Отсюда следует, что ЭНП является фильтром нижних частот, вносящим запаздывание на .
        Для фильтрации аддитивной помехи  на рисунке 1,б дополнительно введены звенья  и , осуществляющие получение среднего значения l результатов преобразования, которые находятся на временной оси на расстоянии .
Итак, модель приведенная на рисунке 1,б отличается от модели, приведенной на рисунке 1,а наличием цифрового усреднения l последовательных результатов преобразования на одном шаге временной дискретизации.
        Модель, приведенная на рисунке 1,в содержит звено текущего усреднения за период временной дискретизации T:

его передаточная функция имеет вид

АФЧХ этого звена

Отсюда следует, что это звено вносит запаздывание на .
        Сигнал в моменты времени  на выходе тракта преобразования z[nT], где n = 0,1,2,…, определяется выражениями:
для первой модели

для второй модели

для третьей модели

        В выражениях (7), (8), (9) при детерминированном входном сигнале погрешности квантования по уровню можно оценить сверху величиной .
        Погрешность преобразования  (см. рисунок 1) при детерминированном входном сигнале определяется как

где
        Если результат преобразования используется в реальном времени, когда погрешность от запаздывания нельзя исключить, то величина  принимается равной 0. В том случае, когда результат преобразования используется в исследовательских целях, либо в разомкнутых системах, погрешность от запаздывания исключается. В этом случае для первой модели  при исключении запаздывания, вносимого экстраполятором нулевого порядка.
При исключении погрешности от запаздывания для второй модели результат усреднения относится к середине временного отрезка, на котором находятся усредняемые отсчеты. В этом случае  , где  – запаздывание в экстраполяторе нулевого порядка, .
Результаты, получаемые на второй модели при l = 1, совпадают с результатами, полученными для первой модели, при следующих условиях: в первой модели  соответствует , ,  во второй модели; в первой модели  соответствует , ,  во второй модели.
При исключении погрешности от запаздывания для третьей модели .
В качестве моделей случайного входного преобразуемого сигнала x(t) и помехи  примем стационарные центрированные случайные процессы, заданные своими автокорреляционными функциями  и . Сигнал и помеху примем статистически независимыми. Дисперсия погрешности преобразования

где М – математическое ожидание выражения в фигурных скобках.
        Из этого выражения следует

        Здесь  – дисперсия сигнала на входе тракта преобразования,  – дисперсия сигнала на выходе тракта преобразования при  и отсутствии погрешности квантования по уровню,  – дисперсии помехи на выходе тракта преобразования при x(t) = 0 и отсутствии погрешности квантования по уровню,  – оценка сверху дисперсии погрешности квантования по уровню. Величина дисперсии погрешности квантования по уровню не превышает  и, учитывая, что у современных АЦП число разрядов больше или равно 8, этой погрешностью можно пренебречь.  – взаимокорреляционная функция сигналов x(t) и z(t).
        Следует обратить внимание на зависимость дисперсии погрешности  от времени , что свидетельствует о нестационарности случайной функции . В дальнейшем будем использовать для оценки дисперсии погрешности преобразования .
        Рассмотрим составляющие выражения (11) (с учетом (7)) для первой модели.

        С учетом (8) для второй модели

        С учетом (9) для третьей модели

        Получим далее значения дисперсии  для рассматриваемых трех моделей.
        Для первой модели







        Для второй модели

        Для третьей модели

        Выражение дисперсии помехи  на выходе тракта преобразования совпадает с  после замены  на .
        Определим величину относительной дисперсии погрешности как

где  – относительное значение дисперсии погрешности преобразования сигнала x при ;
 – относительное значение дисперсии погрешности преобразования, определяемые помехой при x = 0.
        Максимальной величине  соответствует :

где  – относительное максимальное значение погрешности преобразования сигнала x при .
        Выражения  для трех моделей приведены в таблице 1. Последнее слагаемое в этих формулах есть . Остальные слагаемые определяют .







Таблица 1.
Модель

1

2

3


Выражение (21) для второй модели при l = 1 и , где  – запаздывание, вносимое экстраполятором нулевого порядка, совпадает с (20), так как для первой модели .
Последнее слагаемое в выражениях (20), (21), (22) характеризует помехоустойчивость тракта преобразования.
Если в первой модели, в соответствии с приведенными выражениями, отношение мощности (дисперсии) помехи к мощности (дисперсии) сигнала на входе и выходе тракта одинаковы и равны , то для второй и третьей моделей отношение мощности (дисперсии) помехи на выходе к мощности сигнала изменилась. Анализ помехоустойчивости тракта преобразования за счет использования цифрового и аналогового усреднения для различных моделей помех будет приведен ниже.
Используя методику, приведенную в [6], разложив в ряд Маклорена автокорреляционную функцию сигнала, получены выражения  – дисперсии погрешностей преобразования. Для дифференцируемых функций, заданных, в частности, выражениями автокорреляционных функций (23), (24), (25), приведенными в таблице 2,




Таблица 2.
Корреляционная функция
Разложение функции в ряд Маклорена
k-ый член ряда,





(23)



(24)



(25)



(27)

        Для недифференцируемых случайных функций, заданных, в частности, выражением автокорреляционной функции (27)

Выражения  для различных автокорреляционных функций приведены в    таблице 2. Выражения  и  для различных моделей приведены в таблице 3.
Таблица 3.
Модель
,
1


2


3



        При  и l = 1 выражение  для второй модели совпадает с для первой модели. В качестве оценки погрешности удобно использовать максимальное значение дисперсии погрешности  и соответственно среднеквадратичное отклонение . Для вычисления этих оценок в диапазоне до 10 – 15% от СКО входного сигнала достаточно использовать, как правило, один – два члена ряда из выражений (30) – (34). В том случае, когда среднеквадрнатичную оценку погрешности преобразования удобно приводить к диапазону изменения входного сигнала, соответствующие относительные оценки погрешности делятся на величину , относительные оценки дисперсии делятся на .
        В частности, для гауссовского случайного процесса при определении диапазона изменения сигнала с вероятностью 0,997 величина , для закона равномерной плотности вероятности , для закона Симсона .
        Результаты расчета величин  при преобразовании сигнала, заданного автокорреляционной функцией (23) – сигнала с постоянной спектральной плотностью мощности в полосе частот от 0 до  – приведены...