Фрилансеры предложат свои варианты уже через несколько минут!
Публикация заказа не займет много времени.

Публикация в научном журнале университета

УДК 514.76
К.К. Хабазня
mmphj@mail.ru
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Связности 1-го и 2-го порядков на центропроективных многообразиях

Работа посвящена центропроективным многообразиям, связностям на них и геометрическим объектам, описывающим эти связности. Определяется центропроективное многообразие , даются его структурные уравнения, вводятся понятия голономного , полуголономного  и неголономного  многообразий, а также главных расслоений центропроективных кореперов 1-го  и 2-го  порядков. Задаются фундаментально-групповые связности в этих расслоениях, вводятся объекты кривизны и кручения центропроективных связностей 1-го и 2-го порядков и формулируются утверждения, касающиеся тензорности этих объектов. Объект кручения 2-го порядка центропроективной связности 2-го порядка построен по аналогии с объектом кручения 1-го порядка.

Ключевые слова: центропроективное многообразие, голономность, полуголономность, неголономность, главное расслоение центропроективных кореперов, центропроективная связность, кривизна и кручение центропроективной связности 1-го и 2-го порядков
  • Центропроективные многообразия. Рассмотрим n-мерное гладкое многообразие , в каждой точке  имеется касательное векторное пространство  размерности n. Наделим его структурой аффинного пространства с центром A, дополним его несобственной гиперплоскостью , результат обозначим . Расширим действие линейной группы  до действия коаффинной группы  в , которое станет центропроективным пространством. Выполним аналогичные построения с касательными пространствами высших порядков. Результат назовём центропроективным многообразием  [1].
    Отнесём некоторое центропроективное пространство  к подвижному реперу , тогда для смещения точки A имеем
     ,                          (1)
    где , - линейные дифференциальные формы. Имеет место цепочка эквивалентностей       . Вполне интегрируемость последней системы эквивалентна уравнениям
    .                                (2)
    Для продолжения уравнения (1) необходимо выполнение структурного уравнения
    .                                        (3)
    Продолжая уравнения (2) и (3), приходим к уравнениям:
    , ,(4)
    причём
    , ,                        (5)
    что равносильно [2]: , , ; , , .
    Продолжая структурные уравнения (4), получим
    ,
    ,          (6)
    причём , .
    Если справедливы уравнения , , то есть формы  и  симметричны по нижним индексам (достаточные, но не необходимые условия для справедливости равенств (5)), тогда многообразие  называется голономным и обозначается . В случае, когда
    , , ,        (7)
    где «» означает сравнимость по модулю базисных форм , многообразие называется полуголономным и обозначается . В общем случае, когда , , многообразие называется неголономным [1] и обозначается . Заметим, что невыполнение дифференциальных сравнений (7) означает, что структурные уравнения (4) получены не в результате продолжения структурных уравнений (2) и (3).
    Уравнения (2), (4) являются структурными для расслоения с базой , типовым слоем – коаффинной группой , называемого главным расслоением центропроективных кореперов 1-го порядка . Аналогичным образом определяется главное расслоение центропроективных реперов 2-го порядка , для него структурными будут уравнения (2), (4) и (6).
    • Центропроективная связность 1-го порядка. Фундаментально-групповая связность в главном расслоении центропроективных реперов 1-го порядка  задаётся с помощью форм
      , .                (8)
      Дифференцируя эти формы внешним образом, получим:
      , ,
      где дифференциальный оператор  действует следующим образом: .
      Центропроективная связность в расслоении центропроективных реперов  задаётся полем объекта  на базе :
      , .        (9)
      Структурные уравнения форм центропроективной связности запишутся в виде
      , ,
      где  - объект кривизны центропроективной связности , компоненты которого выражаются по формулам
      , .                (10)
      Продолжая уравнения (10), получим
      ,(11).
      Учитывая уравнения (9, 11) и применяя оператор  к выражениям (10), получим
      , .
      В случае полуголономности многообразия  ,  и . Если многообразие  голономно, то эти сравнения становятся равенствами, значит в обоих случаях
      , .
      Ввиду этого не будем выделять особый голономный случай, то есть при употреблении в дальнейшем понятия полуголономного многообразия подразумевается, что оно включает голономное многообразие.
      Теорема 1. Объект кривизны центропроективной связности на неголономном многообразии образует (см. [1]) геометрический объект лишь вместе с объектом, на полуголономном многообразии объект - тензор, содержащий подтензор аффинной кривизны  [3].
      Внесём формы (8) в уравнения (2) и (3):
      , ,
      где , . Объект  называется объектом кручения [4] центропроективной связности 1-го порядка .
      Проальтернируем дифференциальные сравнения (9):
      , .
      В полуголономном случае, когда , , имеем , .
      Теорема 2. Объект кручения центропроективной связности на неголономном многообразии не образует тензор [1], на полуголономном многообразии объект кручения - тензор, содержащий подтензор кручения аффинной подсвязности 1-го порядка [1, 3].
      • Центропроективная связность 2-го порядка. Фундаментально-групповая связность в главном расслоении центропроективных кореперов 2-го порядка  задаётся с помощью форм (8) и следующих
        , .        (12)
        Дифференцируя их, получим

        Центропроективная связность 2-го порядка в расслоении центропроективных реперов  задаётся полем объекта  на базе , причём
        ,
                         (13)
        .
        Структурные уравнения форм (12) запишутся в виде:
        , ,
        где  — объект кривизны центропроективной связности , компоненты 2-го порядка которого выражаются по формулам:
        ,
        .
        Продолжая уравнения (13), получим

        (14)
        Учитывая уравнения (9, 13, 14), имеем

                   (15)
        В случае полуголономности многообразия  ,  и , а значит дифференциальные уравнения (15) упростятся
        ,
        .
        Теорема 3. Объект центропроективной кривизны 2-го порядка на неголономном центропроективном многообразии образует квазитензор лишь в совокупности с объектом центропроективной связности 2-го порядка, на полуголономном многообразии объект кривизны — тензор (ср. [3]).
        По аналогии с объектом кручения  для связности 1-го порядка  введём объект кручения  центропроективной связности 2-го порядка , который при обращении в нуль даёт выражения частично альтернированных компонент объекта связности 2-го порядка через компоненты объекта связности 1-го порядка в случае полуголономного  и голономного  многообразий. Для этого внесём формы (8) и (12) в уравнения (4):

        где , . Объект  назовём объектом кручения центропроективной связности 2-го порядка .
        Учитывая при применении оператора  уравнения (9) и (13), имеем
        , .
        В полуголономном случае, когда  и , получаем
        , .
        Теорема 4. Объект кручения 2-го порядка центропроективной связности на неголономном многообразии не является тензором, на полуголономном многообразии объект кручения - тензор, содержащий подтензор кручения 2-го порядка аффинной подсвязности 2-го порядка, задаваемой подобъектом.

        Список литературы
        • Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград. 2000.
        • Шевченко Ю.И. Голономные и полуголономные подмногообразия гладких многообразий. Дифференциальная Геометрия Многообразий Фигур. Выпуск 46. Калининград, 2015. С. 168—177.
        • Башашина К.В., Т.А. Аноева. К геометрии центропроективного многообразия и гладкого подмногообразия. Дни науки. 2010. С. 60-71.
        • Лемлейн В. Г. Локальные центропроективные пространства и связности в дифференцируемом многообразии // Литов. мат. сб. Вильнюс, 1964. С. 41–132.
        • Полякова К.В.


        K. Khabaznia

        Connections of first and second order
        on centroprojective manifolds

        The work is dedicated to centroprojective manifolds, connections on them and geometric objects that describe these connections. Definition of centroprojective manifold , its structure equations are given, notions of holonomic , semiholonomic  and nonholonomic  manifolds as well as the notion of principal bundles of centroprojective coframes of first  and second  orders are entered. Fundamental-group connections in these bundles are determined, objects of curvature and torsion of centroprojective connections of first and second orders are entered then, and prepositions about whether these objects are tensors or not are formulated. Object of torsion of second order of centroprojective connection of second order are build by analogy with the object of torsion of first order.