Фрилансеры предложат свои варианты уже через несколько минут!

Публикация заказа на фриланс бирже не займет много времени.

Контрольная работа по операционному исчислению – №1

Найти изображения по оригиналам:

1.4        
Понижаем степень у косинуса
 =  =  +  =  +  +  =
=  + .
Используем свойство линейности и таблицу стандартных изображений
 =  + 


1.14        
 = =  =
Используем свойство линейности и таблицу стандартных изображений.
 =  

1.24                ;
Понизим степень у косинуса
 =  =  +
Из таблицы стандартных изображений


По теореме интегрирования
 = .
В силу линейности
  +

Найти оригинал по изображению

2.4         =  =
 =1
Из таблицы стандартных изображений
 =

2.14        
Разделим обе части равенства на р. .
Далее  
Из теоремы об интегрировании  .
Следовательно,  3

2.24        
Воспользуемся теоремой разложения, поскольку синус является аналитической функцией на всей плоскости и может быть разложен в ряд Лорана
 =  =  =
= = .

Тогда оригинал представляется рядом
 =  =

Найти решение задачи Коши

3.4        
        ,
Считаем ;

Применяя к обеим частям дифференциального уравнения преобразование Лапласа и используя теорему о дифференцировании оригинала и свойство линейности преобразования Лапласа для задачи Коши получаем операторное уравнение (уравнение для изображений)


Отсюда .
 = ;  =
 =
Теперь по изображению нужно найти оригинал.
Раскладываем на простые дроби
 =  +  +  + 

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях р.
; ; ;
; ;
 =  +  +  +
Для каждого слагаемого находим оригиналы по таблице стандартных изображений.
Имеем решение задачи Коши
 =
 - функция Хэвисайда.

3.14        
        ,
Считаем ;

Применяя к обеим частям дифференциального уравнения преобразование Лапласа и используя теорему о дифференцировании оригинала и свойство линейности преобразования Лапласа для задачи Коши получаем операторное уравнение (уравнение для изображений)


Отсюда .
 = ;  =
 =
Разлагаем на простые дроби.
=  +

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях р.
; ; ; ; ;
Таким образом,
 =  +
Теперь в знаменателе второй дроби выделим полный квадрат
 =  =  +
 
 

 =  +

3.24        
         =  =  = 0
По теореме о дифференцировании оригинала


Применяем к обеим частям уравнения преобразование Лапласа. С учетом нулевых начальных условий имеем

 = 1  =

Рассмотрим изображение  
Из теоремы об интегрировании  .
 =   +  =   +  =
   + 1

Найти решение задачи Коши

4.4        

Пусть
;
По теореме о дифференцировании оригинала
 = ;
 = ;
Записываем систему уравнений для изображений



Из второго уравнения ; подставляем в первое.

 =  +  +



 = ;


Таким образом, оригинал
 =  +  +
Для изображения
 = .
Разложим на простые дроби
 =
Приведя подобные и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем соотношения
А + В + С+ 1; -2В + 8С = 4; -25А - 5В + 5С = 3.
Откуда А = ; В = ; С =

Поскольку , то будем иметь оригинал для изображения
 =

4.14.        

Пусть
;
По теореме о дифференцировании оригинала
 = ;
 = ;
Записываем систему уравнений для изображений

Умножаем первое уравнение на р/2 и подставляем во второе

 =  + .
Отсюда оригинал
Изображение  или  =  =
 = .
Откуда оригинал  =