Закажите услуги фрилансеров для вашего проекта прямо сейчас!

Размещение заказа на фриланс бирже бесплатно.

Вариант 9
        1. Функция распределения случайного процесса
Случайный процесс задан формулой (t) = exp(2t2), где   постоянная, случайная величина  задана рядом распределения
уk
1
0
1
pk
0,3
0,2
0,5
        Указать количество возможных реализаций случайного процесса, нарисовать их графики. Записать аналитическое выражение для функции распределения указанного случайного процесса.
Решение:
        Эмпирическая функция распределения случайной величины  записывается:
        F(y) = P( y) =  =  =
        Случайный процесс (t) — это дискретный процесс с непрерывным временем. Дискретная случайная величина  принимает три значения (1, 0, 1). Тогда будем иметь три возможных реализации случайного процесса:
        X1(t) = exp(2t2); X2(t) = 0; X3(t) = exp(2t2);
        При различных значениях параметра  будем в каждом случае иметь семейство кривых.
        Функция распределения случайного процесса F(t, х) определяет вероятность того, что для каждого момента tі мгновенное значение случайного процесса X(t) (сечение) в этот момент F(ti, x) = P{X(ti)
        Аналитическое выражение для функции распределения случайного процесса (t)
        F(t, х) = P((t) х) = P{exp(2t2) х} = P =
                =

















        2. Математическое ожидание и корреляционная функция случайных процессов
        Случайный процесс определен формулой (t) = 2exp(t), где   случайная величина, равномерно распределенная на интервале . Найти математическое ожидание и ковариационную функцию процесса (t).
        Решение:
        Математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция mx(t), которая для любого t, будет определяться как математическое ожидание соответствующего сечения. Если сечение случайного процесса X(t) при данном t представляет собой непрерывную случайную величину с плотностью р(t, x), его математическое ожидание вычисляется по формуле
                mx(t) = M =
        Для равномерно распределенной на интервале a, b] случайной величины плотность распределения р(x, t) =  = .
m(t) = M(t)] =  =  = exp(tx)  = t)]
        Ковариационная функция — это математическое ожидание случайного процесса в двух разных моментах времени (в двух сечениях). Совместная плотность вероятности двух равномерно распределенных на интервале a, b] случайных величин р(x1, x2, t) =  =
                Kx(t1, t2) = MX(t1)X(t2)] =
        K(t1, t2) = M(t1)(t2)] =  =
        = =  =
        = t2)] = t2)] =
        t1)]t2)] = t1) exp(t2) + exp(t1 + t2)]
        
        3. Стационарные случайные процессы
        Некоррелированные случайные процессы 1(t) и 2(t) имеют моментные функции
        m1(t) = t2; m2(t) = 1; R1(t1, t2) = exp(1(t1 + t2)); R2(t1, t2) = exp(2(tt2)2).
        Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса (t) = 1(t) + 2(t) + t2.
        Математическое ожидание
        m(t) = Мt)] = Мt)] + Мt·2(t)] + Мt2] = t2 + t + t2 = 2t2 + t;
        Корреляционная функция
        R(t1, t2) = M{t1)  m(t1)]t2)  m(t2)]} =
        = Мt1)(t2)]  Мt1)m(t2)]  Мt2)m(t1)] + Мm(t1)m(t1)];
        (t1)(t2) = t1) + t1·2(t1) + ]·t2) + t2·2(t2) + ] =
        =1(t1)1(t2) + t2·1(t1) 2(t2) + 1(t1) + t1·2(t1) 1(t2) + t1·2(t1) t2·2(t2) + t1·2(t1) +         +1(t2) + t2·2(t2) + ;
        Мt1)(t2)] = Mt1)1(t2)] + (t1 + t2 )Мt1)2(t2)] + t1t2Mt1)2(t2)] + Мt1)] +
+ t1·Mt1)] +  Mt2)] + t2 Mt2)] + ;
        Корреляционная и ковариационная функции связаны соотношением
        R(t1, t2) = К(t1, t2)  m(t1)m(t2)
Mt1)1(t2)]  = К1(t1, t2)  = R1(t1, t2) + m1(t1)m1(t2) = exp(1(t1 + t2)) + ;
Mt1)2(t2)]  = К2(t1, t2)  = R2(t1, t2) + m2(t1)m2(t2) = exp(2(tt2)2) +1;
C учетом некоррелированности процессов 1(t) и 2(t) имеем
        Мt1)(t2)] = exp(1(t1 + t2)) +  + t1t2 t1  t2)2) + 1]+  + t1· +  +
        +  + = exp(1(t1 + t2)) + t1t2 exp(2(tt2)2) + 2t1· + 2 + 2t2 + t1t2;
        Мt1)m(t2)] = (2 + t2) Мt1)] = (2 + t1 )(2 + t2);
        Мt2)m(t1)] = (2 + t1 ) Мt2)] = (2 + t1 )(2 + t2);
        Мm(t1)m(t1)] = (2 + t1 )(2 + t2);
        R(t1, t2) = exp(1(t1 + t2)) + t1t2 exp(2(tt2)2) + 2t1· + 2 + 2t2 + t1t
        (2 + t1 )(2 + t2) = exp(1(t1 + t2)) + t1t2 exp(2(tt2)2)  2;
        Дисперсия случайного процесса
D(t) = Mm(t))2] = M m(t)2 = R(t, t) m(t)2 =
= exp(21t) + tt4  (2t2 + t)2 = exp(21t)  4t3 6t4 

        4. Нелинейные преобразования случайных процессов
На нелинейную систему с амплитудной характеристикой
у = G(x) =  воздействует стационарный гауссовский процесс 1(t) с параметрами m1 = 0,25; 1 = 1.
Найти формулу для вычисления математического ожидания отклика 2(t).
m2 =
p1(x) — плотность вероятности входного процесса, который является гауссовским
p1(x) = =  
        m2 =
        Для вычисления интеграла делаем подстановку z = ; dx = 1dz . Тогда
        m2 =  = = І1 + І2 + І3
 І1 =  =4Ф0(z) = 40,5 + 4 Ф0 =
= 4·0,0625·0,5 + 40,0625 Ф0(0,25) = 0,1497
        І2 = 8m11 = 8m11(z) = 8m11()  8m11 = 8·0,25·0,3867 =
                = 0,7734
І3 = ; Находим по частям, учитывая соотношение (z) = z (z)
І3 = 4 = 4
 =  = 0;
І3 = 4  4 =
= ·0,25·0,3867 + 4·(0,5 + 0,0987)  2
Окончательно получим
m2 =  0,1497  0,7734 + 2,008  2,9312
        Были использованы свойства функций Гаусса (х) и Лапласа Ф0(х).
        
        5. Линейные преобразования случайных процессов
Определить математическое ожидание m(t) случайного процесса (t) = , если детерминированная функция g(t) = sint, а случайный процесс (t) имеет математическое ожидание m(t) = с, где с, ...