Закажите услуги фрилансеров для вашего проекта прямо сейчас!

Размещение заказа на фриланс бирже бесплатно.

Типовий розрахунок – №7

Типовий розрахунок № 8
Завдання 1. Розставити межі інтегрування двома способами та обчислити подвійний інтеграл. Область інтегрування зобразити на рисунку
        1.3.        , область D обмежена лінями у = х2, у2 = х, х  0,5
1)         =
=  =  
=  = 0,0508
2)        Визначимо точку перетину ліній у = х2, у2 = х
у = у4; у = 1
 =  =  =  =
=  = 0,05
Завдання 2. Обчислити подвійний інтеграл в полярних координатах
2.3.        , де D — внутрішня частина лемніскати = cos2
Переходимо до полярних координат х = cos, y = sin; 0    2
 =
 =  =
=  =  =
Застосуємо розклад функції ln(1 + x) в степеневий ряд
=  
 =  = ( + cos4) = 
 =  =  =
= +  =
Обмежимося двома членами розкладу:  · 
Завдання 4. Обчислити за допомогою потрійного інтегралу об’єм тіла, обмеженого вказаними поверхнями. Зробити рисунок даного тіла та його проекції на площину XOY
        4.3.        z = y2, x2 + y2 = 9, z = 0
Об’їм тіла обчислюється
V =
Переходимо до циліндричних координат х = cos, y = sin; z = z;
0    2;
2 = 9;  = 3; z = 2sin2;
V =  =  =  =  =  =
=  = 
Завдання 6. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду
6.3.        , де L — контур трикутника з вершинами О(0,0), А(1, 0), В(0, 1)
Рівняння прямої, що проходить через точки А та В  = ;  =
у = 1 – х; y = 1
Загальний контур розбивається на три, будемо мати три інтеграли
 =  +  +  . Перші два дорівнюють нулю, це випливає з визначення криволінійного інтегралу першого роду.
Користуємося  =
 =  =  =
Завдання 7. Розв’язати наступні задачі за допомогою криволінійного інтеграла другого роду
7.3        У просторі задане силове поле  = (y2 – x2) + 2yz – x2. Знайти роботу в цьому полі при переміщенні матеріальної точки по кривій x = t, y = t2, z = t3 (0  t 1) в напрямку зростання параметру.
Вважаємо масу матеріальної точки рівною 1. Тоді робота обчислюється
А = dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz
В силовому полі P(x,y,z) = y2 – x2; Q(x,y,z) = 2yz; R(x,y,z) = x2;
Для кривої, заданої параметрично х = х(t); y = у(t); z = z (t);(а  t b)
 dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz =
 + Q(x(t),y(t),z(t)) у(t) + R(x(t),y(t),z(t)) z(t)]dt
dx = dt; dy = 2t dt; dz = 3t2dt; Підставляємо до формули
А = dx + 2yz dy  x2dz = + 2t52t  3t2t2)dt =  =
  0,162
Завдання 11. Дана функція u = u(x, y, z), точка М0 (x0, y0, z0) і вектор
 = ax + ay +az. Знайти
1) gradu в точці М0;
2) похідну в точці М0 в напрямку вектора
Варіант
u(x, y, z)
М0

3
ln(2x + 3y – z)
(2; 3; 1)
2  +2
gradu =  +  +.
 = ;  = ;  =
В точці М0(2; 3; 1) gradu =  +   .
 = cos + cos + cos, де cos, cos, cos — направляючі косинуси вектора
cos =  =  = ; cos =  = ; cos =
=      =
Завдання 13. Дано векторне поле  = ax + ay +az та площина
Ax + By + Cz + D = 0, яка разом із координатними площинами утворює піраміду V. Знайти потік векторного поля  через повну поверхню піраміди V у напрямку зовнішньої нормалі до її поверхні:
1) безпосередньо;
2) застосувавши теорему Гауса-Остроградського. Зробити рисунок піраміди

Варіант

Ax + By + Cz + D = 0
3
2  +2
x + 2y + 2z  4 = 0
Повна поверхня піраміди складається з чотирьох граней. Потік векторного поля через площину визначається
П =  =
Р = 2; Q = 1; R = 2.
ПXOY = 0, оскільки нормальній вектор до площини XOYмає нульові проекції.
ПXOZ =  =  =
=  =  = (z2 – 4z)  = 4
ПYOZ =  =  = 2 = 2 = (y2 – 4y)  = 4
Направляючі косинуси нормалі до площини S розраховуються
cos = ; cos =  ; cos = .
D
cos =  = ; cos = ; cos =
ПS =  =    +  =
=   +  =
 = (у – 2)2  –  (z – 2)2 + (y – 2)2 = 4 – 4 + 4 = 0
        Сумарний потік П = ПXOY + ПYOZ + ПХOZ + ПS = 0 – 4 + 4 + 0 = 0
2)        Застосовуємо формулу Остроградського-Гауса для визначення потоку векторного поля а = (Р, Q, R) через інтеграл по об’єму        
П =  =
 =
         =  =  = 0, оскільки Р, Q, R = const. П = 0
Завдання 14. Знайти циркуляцію векторного поля по контуру L трикутника, що вирізаний із площини Ax + By + Cz + D = 0 координатними площинами:
1) безпосередньо;
2) застосувавши теорему Стокса.
Зробити рисунок контуру L та обмеженої ним поверхні S (дані з попереднього пункту)
1)        Застосуємо криволінійний інтеграл першого роду по контуру L, який розбиваємо на три частини.
Рівняння ліній
у = 0,5х + 2;         у = 0,5
z = 2 – у;        z = 1
z = 0,5х + 2;        z = 0,5
 =  =  +  +
        Кожен з інтегралів — робота в векторному полі вздовж відповідної кривої. Межі інтегрування — відповідно до напрямку обходу контуру
        L1: x = t; dx = dt y = 0,5t + 2; dy = 0,5dt; -4  t  0
 =  = 1,5t = -6
L2: y = t; dy = dt; z = 2 – t; dz = dt; 0  t  2
 =  = t = -6
L3: x = t; dx = dt z = 0,5t + 2; dz = 0,5dt; -4  t  0
 =  = t = 12
 = -6 – 6 + 12 = 0
2)        За теоремою Стокса циркуляція
  =  =
=  = 0, оскільки похідні від сталих дорівнюють 0.